変態紳士の雑記帳
変態紳士が適当に思想を垂れ流したり、日々の事を書いていくBlogです。
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時間と空間について妄想
過去と未来を現在が分かつ。過去とは過去のある時点での現在であり、未来とはいまだやってこない現在である。
通常の生活において時間とは数直線的に過去から未来へとプランク時間分累積的に数値が変化するものである。決して未来から過去に逆戻りする事はない。
時間とはある物の変化を測るためのスパンであり、その変化は基本相互作用によって計測される。この基本相互作用はゲージ粒子を交換することで作用する。人間スケールにおいて、容易に扱えて基本的なふるまいをするゲージ粒子は電磁気力を伝える光子(フォトン)である。
フォトンは質量0であり、その速度は真空において光速である。そして、あらゆる質量をもつ物質の力学的最高速度が光速である。
この光速こそがこの世の物理法則の基本パラメータの一つであり、光速によって変化を計測できる最小の値をプランク時間として定義され、距離/速度で算出できる。すなわち、最小の距離(空間軸の最小単位)/速度(物理上最高速度である光速)=時間(計測できる最小の時間:プランク時間)となるわけである。
さて物理上速度上限である光速で移動するフォトンに、光速で近づいていったら、光速で移動するフォトンの速度はどう計測されるか?正解は光速である。
光速以上の相互作用は存在しないでそれ以上の速度にならない。その代わりに時間もしくは演算結果の距離が変化するのである。その変化する割合は静止している観測者の時間の刻みをt、運動速度をv、光速をcとすると、sqrt(1-(v/c)^2) * tであらわされる。たとえば、光速の90%で等速直線運動をする宇宙船では、静止している観測者の時間と比較して約0.44倍のスピードで時間が流れることになる。もし100%光速であったら、演算結果は0であり、時間が凍結されることを意味する。
上記の式は時間と空間を合わせて座標変換するローレンツ変換の式である。この式を四次元時空(t,x,y,z)のピタゴラスの定理にあてはめて式を整理すると、以下のような式が導き出される。
長さ^2 = x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2 (t=その距離のAとBから発せられた光届いたとき時間差)
たとえば、宇宙空間からは常に大気に向かって高エネルギーの宇宙線が絶え間なく降り注いでくる。この宇宙線は大気とぶつかることにより、粒子を生成する。この粒子は地球時間で計測したら、その寿命から500mしかすすめない。しかし実際のところでは、はるか1000km上空で生成されたはずの粒子が地上で観測できる。
これは粒子から見たら、上記の式により距離(空間)が縮まる(地球の大気の厚さが500mとして計測される)事を意味し、静止系の地球から見たら粒子の寿命が延びる(粒子の時間経過が遅くなる)事を意味する。
われわれが知っているピタゴラスの定理はx^2 + y^2 + z^2 = l^2であるが、上記の式では時間の前の符号が-であるため、時間と空間を別々に計算する必要がある。これは空間は行ったり来たり自由にできるが、時間は刻みが異なれど一定方向に常に流れていく物であるから、その本質的に異なるもののためである。
このピタゴラスの定理に当てはまるようにするためにどうしたらいいか?スティーブン・ホーキングは時間が実数時間ではなく虚数時間であったら、数学上ピタゴラスの定理と同じになる事を発見する。即ち、l^2 = x^2 + y^2 + z^2 + (itc)^2という式になるわけである。
現実世界における時間は実数時間であり、実数は数学的に連続的な大小関係が存在するがゆえに、一定方向に演算して遅れがあるにしても因果律を保存することができる。対して虚数時間だとどうなるか。
虚数時間では演算による大小関係は矛盾を起こすため定義できず、因果関係が破綻します。たとえば距離は速度*時間で算出でき、速度は加速度*時間で計算できます。虚数時間が流れるとすると、距離は加速度に時間の二乗をかけたものに等しくなります。虚数は二乗して-1になる単位ですから、計算すると加速指定方向と逆の方向へ進むということが計算出来る事が理解できるでしょう。直感的に理解しがたいことですが、数学上何の問題もないのです。
すなわち、ブレーキをかけるとどんどん加速し、加速するとどんどん減速するのが虚数時間における物理法則になります。虚数時間をかけることにより、符号が正反対に切り替わるので、連続的な因果を保存することができないわけです。
連続的な因果が保存できないということは、連続的な変化の度合いを測る時間を定義できないということを意味します。しかしながら、連続的な度合いではない、アドレスとしての数としての虚数時間は定義できます。たとえば、一丁目と三丁目という場所の大小は定義できませんが、どこ?という位置は定義できます。そしてこのどこ?を表す位置情報とは座標(空間)なわけです。
それでは座標・次元とはどのように定義されるのでしょうか?現実はX,Y,Zの三次元ですが、これらはX,Y,Z軸が互いに直行した座標軸である事が条件になります。すなわち、もう一次元を追加したければ、X,Y,Zに(数学上)直角に交差する軸であれば追加できる、ということになります。
長さ^2 = x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + (itc)^2の関係式から見ると、数学上空間と時間は入りまじって不可分である事が理解できると思います。
すなわち、我々が空間と呼んでいる物の構成要素には虚数時間が存在し、虚数時間が存在することで空間はアドレスとしての意味を持つことができる訳です。
さて、時間を遅らせるのは速度だけではありません。重力(加速度)も時間を遅らせます。たとえば、重力の無い宇宙空間に比べて地球表面上は一秒あたり百億分の七秒時間が遅れます。
これは重力により空間が曲げられることにより、光速不変原理により対応する時間が遅れて計測される訳です。これはyを観測者の時間、xを観測対象の時間と考えたy=axの一次方程式で表現すると、aが1より小さくなっていくと考えてもらうとわかりやすいと思います。
これを二次元で考えてみましょう。今机の上に10cmの鉛筆があります。この鉛筆が光速に近い速度で運動し、6cmの長さに計測できたとします。これは二次元の人から見ると、X,Y軸では10cmで計測できた鉛筆が、Y軸の方向に傾いていったことにより、X,Y軸のみの計算だと6cmと短く計測できると考えるのと何ら変わりありません。この移動速度が光速になると、Z軸と平行に、X,Y軸からは90度の角度に鉛筆が傾くことになります。このときX,Yは0になる、すなわち時間の流れが止まるわけです。
現実は三次元ですから、同様にX,Y,Z軸に対して90度の角度に傾いていっていると理解することができます。三次元では自由に移動できないし、認識することもできない角度の第四の軸、すなわち実時間軸に向けて傾いていくということになります。
このように、空間と時間は時空連続体として一体不可分な関係をもっているわけです。そして、それは虚数時間をパラメータにもったX,Y,Z次元と実数時間をもったt次元によってこの宇宙が構成されているから、このような世界が構築されたわけです。
通常の生活において時間とは数直線的に過去から未来へとプランク時間分累積的に数値が変化するものである。決して未来から過去に逆戻りする事はない。
時間とはある物の変化を測るためのスパンであり、その変化は基本相互作用によって計測される。この基本相互作用はゲージ粒子を交換することで作用する。人間スケールにおいて、容易に扱えて基本的なふるまいをするゲージ粒子は電磁気力を伝える光子(フォトン)である。
フォトンは質量0であり、その速度は真空において光速である。そして、あらゆる質量をもつ物質の力学的最高速度が光速である。
この光速こそがこの世の物理法則の基本パラメータの一つであり、光速によって変化を計測できる最小の値をプランク時間として定義され、距離/速度で算出できる。すなわち、最小の距離(空間軸の最小単位)/速度(物理上最高速度である光速)=時間(計測できる最小の時間:プランク時間)となるわけである。
さて物理上速度上限である光速で移動するフォトンに、光速で近づいていったら、光速で移動するフォトンの速度はどう計測されるか?正解は光速である。
光速以上の相互作用は存在しないでそれ以上の速度にならない。その代わりに時間もしくは演算結果の距離が変化するのである。その変化する割合は静止している観測者の時間の刻みをt、運動速度をv、光速をcとすると、sqrt(1-(v/c)^2) * tであらわされる。たとえば、光速の90%で等速直線運動をする宇宙船では、静止している観測者の時間と比較して約0.44倍のスピードで時間が流れることになる。もし100%光速であったら、演算結果は0であり、時間が凍結されることを意味する。
上記の式は時間と空間を合わせて座標変換するローレンツ変換の式である。この式を四次元時空(t,x,y,z)のピタゴラスの定理にあてはめて式を整理すると、以下のような式が導き出される。
長さ^2 = x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2 (t=その距離のAとBから発せられた光届いたとき時間差)
たとえば、宇宙空間からは常に大気に向かって高エネルギーの宇宙線が絶え間なく降り注いでくる。この宇宙線は大気とぶつかることにより、粒子を生成する。この粒子は地球時間で計測したら、その寿命から500mしかすすめない。しかし実際のところでは、はるか1000km上空で生成されたはずの粒子が地上で観測できる。
これは粒子から見たら、上記の式により距離(空間)が縮まる(地球の大気の厚さが500mとして計測される)事を意味し、静止系の地球から見たら粒子の寿命が延びる(粒子の時間経過が遅くなる)事を意味する。
われわれが知っているピタゴラスの定理はx^2 + y^2 + z^2 = l^2であるが、上記の式では時間の前の符号が-であるため、時間と空間を別々に計算する必要がある。これは空間は行ったり来たり自由にできるが、時間は刻みが異なれど一定方向に常に流れていく物であるから、その本質的に異なるもののためである。
このピタゴラスの定理に当てはまるようにするためにどうしたらいいか?スティーブン・ホーキングは時間が実数時間ではなく虚数時間であったら、数学上ピタゴラスの定理と同じになる事を発見する。即ち、l^2 = x^2 + y^2 + z^2 + (itc)^2という式になるわけである。
現実世界における時間は実数時間であり、実数は数学的に連続的な大小関係が存在するがゆえに、一定方向に演算して遅れがあるにしても因果律を保存することができる。対して虚数時間だとどうなるか。
虚数時間では演算による大小関係は矛盾を起こすため定義できず、因果関係が破綻します。たとえば距離は速度*時間で算出でき、速度は加速度*時間で計算できます。虚数時間が流れるとすると、距離は加速度に時間の二乗をかけたものに等しくなります。虚数は二乗して-1になる単位ですから、計算すると加速指定方向と逆の方向へ進むということが計算出来る事が理解できるでしょう。直感的に理解しがたいことですが、数学上何の問題もないのです。
すなわち、ブレーキをかけるとどんどん加速し、加速するとどんどん減速するのが虚数時間における物理法則になります。虚数時間をかけることにより、符号が正反対に切り替わるので、連続的な因果を保存することができないわけです。
連続的な因果が保存できないということは、連続的な変化の度合いを測る時間を定義できないということを意味します。しかしながら、連続的な度合いではない、アドレスとしての数としての虚数時間は定義できます。たとえば、一丁目と三丁目という場所の大小は定義できませんが、どこ?という位置は定義できます。そしてこのどこ?を表す位置情報とは座標(空間)なわけです。
それでは座標・次元とはどのように定義されるのでしょうか?現実はX,Y,Zの三次元ですが、これらはX,Y,Z軸が互いに直行した座標軸である事が条件になります。すなわち、もう一次元を追加したければ、X,Y,Zに(数学上)直角に交差する軸であれば追加できる、ということになります。
長さ^2 = x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + (itc)^2の関係式から見ると、数学上空間と時間は入りまじって不可分である事が理解できると思います。
すなわち、我々が空間と呼んでいる物の構成要素には虚数時間が存在し、虚数時間が存在することで空間はアドレスとしての意味を持つことができる訳です。
さて、時間を遅らせるのは速度だけではありません。重力(加速度)も時間を遅らせます。たとえば、重力の無い宇宙空間に比べて地球表面上は一秒あたり百億分の七秒時間が遅れます。
これは重力により空間が曲げられることにより、光速不変原理により対応する時間が遅れて計測される訳です。これはyを観測者の時間、xを観測対象の時間と考えたy=axの一次方程式で表現すると、aが1より小さくなっていくと考えてもらうとわかりやすいと思います。
これを二次元で考えてみましょう。今机の上に10cmの鉛筆があります。この鉛筆が光速に近い速度で運動し、6cmの長さに計測できたとします。これは二次元の人から見ると、X,Y軸では10cmで計測できた鉛筆が、Y軸の方向に傾いていったことにより、X,Y軸のみの計算だと6cmと短く計測できると考えるのと何ら変わりありません。この移動速度が光速になると、Z軸と平行に、X,Y軸からは90度の角度に鉛筆が傾くことになります。このときX,Yは0になる、すなわち時間の流れが止まるわけです。
現実は三次元ですから、同様にX,Y,Z軸に対して90度の角度に傾いていっていると理解することができます。三次元では自由に移動できないし、認識することもできない角度の第四の軸、すなわち実時間軸に向けて傾いていくということになります。
このように、空間と時間は時空連続体として一体不可分な関係をもっているわけです。そして、それは虚数時間をパラメータにもったX,Y,Z次元と実数時間をもったt次元によってこの宇宙が構成されているから、このような世界が構築されたわけです。
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